Física Matemática II (2019)

Exercicios

• Primeira lista -- prazo 08/03/2019;  Soluções
• Segunda lista -- prazo 20/03/2019;  Soluções;  Avaliação
• Terceira lista -- prazo 03/04/2019 08/04/2019;  Soluções
• Quarta Lista -- prazo 08/05/2019

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Aulas

• 20/02/2019 -- Espaços métricos --- definição, exemplos, espaços funcionais, espaços vetoriais, norma (Lima, Barata)
• 22/02/2019 -- Espaços métricos --- produto interno, Cauchy-Schwarz, sequências, limites, convergência, sequências de Cauchy, completeza  (Lima, Barata)
• 27/02/2019 -- Espaços métricos --- espaços de Banach e espaços de Hilbert (Lima, Barata);   Teorema de ponto fixo de Banach --- introdução, prova, aplicação (Barata)
• 01/03/2019 -- Teorema de ponto fixo de Banach --- aplicações: mapa logístico, método de Newton para zeros de funções (Barata)
• 08/03/2019 -- Teorema de ponto fixo de Banach --- equações integrais de Fredholm e de Volterra (Barata)
• 13/03/2019 -- Teorema de ponto fixo de Banach --- equações diferenciais ordinárias, Teorema de Picard-Lindelöf (Barata)
• 15/03/2019 -- Não terá aula
• 20/03/2019 -- Espaços de Hilbert --- fecho, subespaço fechado, conjunto convexo, teorema do melhor aproximante, complementos ortogonais, teorema da decomposição ortogonal (Barata)
• 22/03/2019 -- Espaços de Hilbert --- fechos e complementos ortogonais, conjuntos ortonormais completos (Barata)
• 27/03/2019 -- Espaços de Hilbert --- Teorema de Pitágoras, Conjuntos ortonormais e séries convergentes, Subespaços gerados por conjuntos ortonormais finitos, Melhores aproximantes em subespaços de dimensão finita, desigualdades de Bessel (Barata)
• 29/03/2019 -- Espaços de Hilbert --- decomposição de vetores em termos de conjuntos ortogonais completos (Barata);  Operadores em espaços de Hilbert ---  operadores lineares, contínuos, limitados (Barata)
• 03/04/2019 -- Operadores --- espaços finitos: teorema espectral para matrizes (Barata)
• 05/04/2019 -- Operadores em espaços de Hilbert --- Teorema Espectral para operadores compactos autoadjuntos (Barata)
• 24/04/2019 -- Problema de Sturm-Liouville --- equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem, condições de contorno lineares, existência e unicidade de soluções  (Barata)
• 26/04/2019 -- Problema de Sturm-Liouville --- relacionando problemas com condições de contorno não homogêneas e homogêneas, o Problema de Sturm, funções de Green (Barata)
• 01/05/2019 -- Problema de Sturm-Liouville --- construindo a função de Green, o teorema de Green (Barata)

Referências sugeridas

• Notas de Prof. João Carlos Alves Barata
• Espaços Métricos, Elon L. Lima. Coleção Euclides.  (caps. 1-3,5-7;  caps 8-9)
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• Theory of Ordinary Differential Equations, E. A. Coddington and N. Levinson, Krieger Pub Co (pdf)
• Introductory Functional Analysis with Applications, E. Kreyzig. John Wiley and Sons Inc.
• Methods of Modern Mathematical. Vol. 1: Functional Analysis, M. Reed and B. Simon Academic Press. New York.
• Mathematics for Physics & Physicists, Walter Appel, Princeton Univ. Press.
• Mathematical Methods in Physics. Distributions, Hilbert Space Operators and Variational Methods, Philippe Blanchard and Erwin Brüning. Ed. Birkhäuser.

Outras:

• Site do curso do ano passado do Prof. Marchetti.  Tem vários referências, textos, e notas de aula
• D. G. de Figueiredo e A. F. Neves, Equações Diferenciais Aplicadas, IMPA 1997
• J. Sotomayor, Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Euclides, IMPA 1979
• Chaim S. Hönig, Análise Funcional e o problema de Sturm-Liouville, Edgar Bl¨ucher 1978
• M. C. Pereyra e L. A. Ward, Harmonic analysis: from Fourier to wavelet, Student mathematical library, AMS 2012

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Avaliação

• Exercícios (20%); Avaliação
• Duas provas (40% cada)
• 12/04/2019;  Avaliação
• 12/06/2019  (provisória)
• 19/06/2019  (provisória) -- substituto

Para a aprovação na disciplina, deve–se obter média (0.2*exercícios + 0.4*prova1 + 0.4*prova2) igual ou superior a 5.0.

Os alunos que não forem aprovados poderão fazer uma prova de recuperação (02/07/2019?), desde que

tenham 70% de freqüéncia e média igual ou superior a 3.0.

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Programa

• Topologia de espaços métricos, completeza. Continuidade de aplicações entre espaços métricos. Compacidade. Espaços de Banach e de Hilbert. O teorema do ponto fixo de Banach. 
• Teoremas de existência e unicidade de soluções de problemas de valor inicial. Conjuntos ortogonais completos em espaços de Hilbert.
• Operadores lineares contínuos e auto-adjuntos. Operadores compactos em espaços de Hilbert e o teorema espectral. 
• O problema de Sturm-Liouville regular e a completeza das autofunções. Exemplos: funções trigonométricas, polinômios de Legendre, funções harmônicas esféricas, funções de Hermite, funções de Bessel. Aplicação à solução de diversas equações diferenciais da Física.